ch16 baroclinic-instability

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.23.9%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Chapter%2016%20%E2%80%94%20Baroclinic%20Instability%0A%0A%20%20%20%20**Physical%20question.**%20Ch.%2015's%20shear%20instability%20draws%20energy%20from%0A%20%20%20%20horizontal%20shear%20of%20the%20mean%20flow's%20*kinetic*%20energy.%20Mid-latitude%0A%20%20%20%20storms%20and%20ocean%20eddies%20draw%20energy%20from%20somewhere%20else%20entirely%3A%20the%0A%20%20%20%20*potential*%20energy%20stored%20in%20a%20sloping%20temperature%20surface%20%E2%80%94%20the%0A%20%20%20%20same%20thermal-wind%20shear%20from%20Ch.%205.%20After%20this%20chapter%20you%20should%20be%0A%20%20%20%20able%20to%20compute%20the%20Eady%20growth%20rate%20for%20a%20given%20stratification%20and%0A%20%20%20%20shear%2C%20and%20watch%20a%20baroclinic%20wave%20grow%2C%20break%2C%20and%20equilibrate%20in%20a%0A%20%20%20%20two-layer%20model%20%E2%80%94%20the%20single%20most%20important%20instability%20in%20this%0A%20%20%20%20book.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Governing%20equations%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20The%20energy%20source%3A%20available%20potential%20energy%0A%0A%20%20%20%20Ch.%205%20showed%20that%20a%20meridional%20temperature%20gradient%20in%20thermal-wind%0A%20%20%20%20balance%20means%20*sloping*%20buoyancy%20surfaces.%20Sloping%20surfaces%20store%0A%20%20%20%20potential%20energy%20that%20flat%20ones%20don't%3A%0A%0A%20%20%20%20%3E%20**Available%20potential%20energy%20(APE)**%20%E2%80%94%20the%20fraction%20of%20a%20fluid's%0A%20%20%20%20%3E%20potential%20energy%20that%20could%20be%20released%20by%20adiabatically%0A%20%20%20%20%3E%20flattening%20its%20buoyancy%20surfaces.%20For%20the%20midlatitude%20atmosphere%0A%20%20%20%20%3E%20it%20exceeds%20the%20kinetic%20energy%20of%20the%20winds%20by%20an%20order%20of%0A%20%20%20%20%3E%20magnitude.%20Baroclinic%20instability%20is%20the%20mechanism%20that%20taps%20it.%0A%0A%20%20%20%20The%20release%20path%20is%20geometric%20%E2%80%94%20the%20**wedge%20of%20instability**%3A%20a%0A%20%20%20%20parcel%20exchanged%20along%20a%20path%20*shallower%20than%20the%20buoyancy%20slope%20but%0A%20%20%20%20steeper%20than%20horizontal*%20moves%20cold%20fluid%20down%20and%20warm%20fluid%20up%2C%0A%20%20%20%20lowering%20the%20center%20of%20mass%20and%20freeing%20energy%2C%20all%20while%20staying%0A%20%20%20%20(quasi-)balanced.%20Trajectories%20inside%20the%20wedge%20tilt%20against%20the%0A%20%20%20%20shear%20%E2%80%94%20which%20is%20why%20growing%20baroclinic%20waves%20lean%20westward%20with%0A%20%20%20%20height%2C%20and%20why%20that%20tilt%20is%20the%20observable%20signature%20of%20a%20storm%0A%20%20%20%20still%20deepening.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20The%20Eady%20problem%0A%0A%20%20%20%20The%20cleanest%20quantitative%20model%20(Eady%201949)%3A%20QG%20flow%20between%20rigid%0A%20%20%20%20lids%20at%20%24z%3D0%2CH%24%2C%20uniform%20shear%20%24U%3D%5CLambda%20z%24%2C%20constant%20%24N%24%2C%20no%0A%20%20%20%20%24%5Cbeta%24%20%E2%80%94%20chosen%20so%20the%20*interior*%20PV%20gradient%20is%20exactly%20**zero**.%0A%20%20%20%20All%20the%20dynamics%20then%20lives%20on%20the%20two%20boundaries%2C%20where%20the%0A%20%20%20%20advected%20temperature%20acts%20as%20a%20PV%20sheet%3A%20a%20warm%20anomaly%20on%20the%0A%20%20%20%20ground%20behaves%20like%20a%20Rossby%20wave%20running%20one%20way%2C%20a%20temperature%0A%20%20%20%20anomaly%20on%20the%20lid%20like%20one%20running%20the%20other%20way.%20Ch.%2015's%0A%20%20%20%20two-counter-propagating-waves%20resonance%20again%20%E2%80%94%20with%20the%20two%20waves%0A%20%20%20%20now%20stacked%20*vertically*%20and%20coupled%20across%20the%20depth%20%24H%24.%0A%0A%20%20%20%20Normal%20modes%20%24%5Cpsi'%3D%5Cphi(z)e%5E%7Bik(x-ct)%7D%24%20satisfy%0A%20%20%20%20%24%5Cphi''-k%5E2%5Cphi%3D0%24%20in%20the%20interior%20(zero%20PV%20there!)%2C%20matched%20to%20the%0A%20%20%20%20boundary%20temperature%20equations%20%24(U-c)%5Cphi_z-%5CLambda%5Cphi%3D0%24%20at%0A%20%20%20%20%24z%3D0%2CH%24%20%E2%80%94%20a%20%242%5Ctimes2%24%20eigenvalue%20problem%20for%20%24c%24%2C%20with%20growth%20rate%0A%20%20%20%20%24%5Csigma%3D%5Cmu%20c_i%24%2C%20%24%5Cmu%3DkNH%2Ff_0%24%20(symbols%20as%20in%0A%20%20%20%20%5BNOTATION%5D(..%2Fnotation)).%20Two%20robust%20predictions%20fall%20out%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20a%20**short-wave%20cutoff**%20at%20%24%5Cmu%5Capprox2.4%24%3A%20waves%20much%20narrower%0A%20%20%20%20%20%20than%20the%20deformation%20radius%20can't%20couple%20the%20two%20boundaries%2C%20so%0A%20%20%20%20%20%20the%20resonance%20dies%20%E2%80%94%20precisely%20why%20the%20deformation%20radius%0A%20%20%20%20%20%20%24L_d%3DNH%2Ff_0%24%20sets%20the%20size%20of%20storms%20and%20eddies%3B%0A%20%20%20%20-%20a%20most-unstable%20scale%20%24%5Cmu%5Capprox1.6%24%20with%20growth%20rate%0A%20%20%20%20%20%20%24%5Csigma%5Capprox0.31%5C%2C%5CLambda%20f_0%2FN%24%20%E2%80%94%20the%20%22Eady%20timescale%22%20used%20to%0A%20%20%20%20%20%20map%20storm-track%20and%20eddy%20activity%20to%20this%20day.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20The%202-layer%20(Phillips)%20model%0A%0A%20%20%20%20The%20nonlinear%2C%20finite-amplitude%20analog%3A%20two%20QG%20layers%20with%20mean%0A%20%20%20%20flows%20%24U_1%2CU_2%24%20and%20PV%0A%0A%20%20%20%20%24%24q_1%3D%5Cnabla%5E2%5Cpsi_1%2BF(%5Cpsi_2-%5Cpsi_1)%2B%5Cbeta%20y%2C%5Cqquad%0A%20%20%20%20%20%20q_2%3D%5Cnabla%5E2%5Cpsi_2%2BF(%5Cpsi_1-%5Cpsi_2)%2B%5Cbeta%20y%2C%24%24%0A%0A%20%20%20%20with%20%24F%3Df_0%5E2%2F(g'H)%24%20(the%20inverse%20deformation%20radius%20squared%20%E2%80%94%20the%0A%20%20%20%20vertical%20coupling%20constant).%20The%20mean%20state%20hands%20each%20layer%20an%0A%20%20%20%20*effective*%20PV%20gradient%3A%20%24%5Cbeta_1%3D%5Cbeta%2BF%5CDelta%20U%24%2C%0A%20%20%20%20%24%5Cbeta_2%3D%5Cbeta-F%5CDelta%20U%24%20(%24%5CDelta%20U%3DU_1-U_2%24).%20The%20**Phillips%0A%20%20%20%20necessary%20condition**%20is%20that%20these%20can%20have%20opposite%20signs%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20i.e.%20%24F%5CDelta%20U%3E%5Cbeta%24%20%E2%80%94%20a%20direct%20vertical%20analog%20of%20Ch.%2015's%0A%20%20%20%20Rayleigh%E2%80%93Kuo%20sign-change%20criterion%2C%20with%20the%20shear%20now%20supplying%0A%20%20%20%20the%20negative%20gradient%20in%20the%20lower%20layer.%20Note%20what%20%24%5Cbeta%24%20does%0A%20%20%20%20here%3A%20it%20is%20purely%20*stabilizing*%2C%20setting%20a%20minimum%20shear%20below%0A%20%20%20%20which%20no%20instability%20exists%20at%20all.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Aasync%20def%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20---%20vetted%20primitives%20from%20gfdlib%20(see%20CLAUDE.md)%20-------------------%0A%20%20%20%20import%20sys%0A%0A%20%20%20%20if%20sys.platform%20%3D%3D%20%22emscripten%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20micropip%0A%20%20%20%20%20%20%20%20await%20micropip.install(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20str(mo.notebook_location()%20%2F%20%22public%22%20%2F%20%22gfdlib-0.1.0-py3-none-any.whl%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sys.path.insert(0%2C%20str(mo.notebook_dir().parent))%20%20%23%20repo%20root%0A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20gfdlib%20import%20spectral%2C%20timestep%2C%20plotting%2C%20baroclinic%0A%0A%20%20%20%20return%20baroclinic%2C%20np%2C%20plotting%2C%20plt%2C%20spectral%2C%20timestep%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Numerical%20scheme%0A%0A%20%20%20%20Both%20growth-rate%20problems%20are%20small%20(%242%5Ctimes2%24)%20eigenvalue%0A%20%20%20%20problems%2C%20derived%20directly%20rather%20than%20taken%20from%20a%20memorized%0A%20%20%20%20closed%20form%2C%20and%20solved%20with%20plain%20%60numpy.linalg.eigvals%60%20%E2%80%94%20no%0A%20%20%20%20SciPy.%20The%20nonlinear%20life%20cycle%20reuses%20%60gfdlib.spectral.Grid%60%20and%0A%20%20%20%20%60gfdlib.timestep.ifrk4_step%60%2C%20with%20%60gfdlib.baroclinic.invert_2layer%60%0A%20%20%20%20(a%20closed-form%20%242%5Ctimes2%24%20Helmholtz%20solve)%20providing%20%24%5Cpsi_1%2C%5Cpsi_2%24%0A%20%20%20%20and%20hyperviscosity%20as%20the%20exact%20linear%20operator.%20A%20fixed%20mean%20shear%0A%20%20%20%20with%20no%20other%20sink%20is%20an%20unlimited%20energy%20source%2C%20so%0A%20%20%20%20%60gfdlib.baroclinic.rhs_2layer%60%20includes%20bottom%20Ekman%20drag%20on%20the%0A%20%20%20%20lower%20layer%20%E2%80%94%20without%20it%2C%20growth%20continues%20past%20any%20physically%0A%20%20%20%20reasonable%20amplitude%20regardless%20of%20hyperviscosity%3B%20with%20it%2C%20the%0A%20%20%20%20classic%20growth-peak-decay-equilibrate%20life%20cycle%20emerges.%20A%20full%0A%20%20%20%20life%20cycle%20needs%20~%2410%5E5%24%20time%20steps%20at%20the%20notebook's%20resolution%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20too%20heavy%20to%20integrate%20live%20in%20the%20browser%20(see%20performance%20notes%20in%0A%20%20%20%20%60CLAUDE.md%60)%2C%20so%20Part%20B's%20canonical%20run%20is%20precomputed%20offline%20and%0A%20%20%20%20shipped%20as%20data%20for%20the%20widget%20below%20to%20scrub%3B%20a%20second%2C%20smaller%0A%20%20%20%20panel%20lets%20you%20run%20a%20short%2C%20fully%20live%20simulation%20with%20your%20own%0A%20%20%20%20parameters%20to%20test%20hypotheses%20about%20the%20growth%20phase.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Part%20A%20%E2%80%94%20The%20Eady%20growth-rate%20calculator%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(baroclinic%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_mu%20%3D%20np.linspace(0.02%2C%203.2%2C%20300)%0A%20%20%20%20_growth%20%3D%20baroclinic.eady_growth_rate_curve(_mu)%0A%20%20%20%20_mu_max%20%3D%20_mu%5Bnp.argmax(_growth)%5D%0A%0A%20%20%20%20fig0%2C%20ax0%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(6%2C%204)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%20%20%20%20ax0.plot(_mu%2C%20_growth%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20ax0.axvline(_mu_max%2C%20color%3D%22crimson%22%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20lw%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22peak%20at%20%24%5C%5Cmu%24%3D%7B_mu_max%3A.2f%7D%22)%0A%20%20%20%20ax0.set_xlabel(%22%24%5C%5Cmu%3DkNH%2Ff_0%24%22)%3B%20ax0.set_ylabel(%22growth%20rate%20%24%5C%5Csigma%3D%5C%5Cmu%20c_i%24%22)%0A%20%20%20%20ax0.set_title(%22Eady%20growth-rate%20curve%22)%3B%20ax0.legend(fontsize%3D9)%3B%20ax0.grid(alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20fig0%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Both%20fluids%2C%20same%20curve%2C%20different%20scales%0A%0A%20%20%20%20The%20nondimensional%20curve%20above%20is%20universal%3B%20converting%0A%20%20%20%20%24%5Cmu_%7Bmax%7D%5Capprox1.61%24%20to%20a%20physical%20wavelength%0A%20%20%20%20%24L%3D2%5Cpi%2F(%5Cmu_%7Bmax%7D%2F(N%20H%2Ff_0))%24%20and%20e-folding%20time%0A%20%20%20%20%24%5Ctau%3D1%2F%5Csigma_%7Bmax%7D%24%20for%20two%20very%20different%20settings%20shows%20why%0A%20%20%20%20storms%20and%20ocean%20eddies%20look%20nothing%20alike%2C%20despite%20obeying%20the%0A%20%20%20%20same%20equation.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20_mu_max%20%3D%201.606%0A%20%20%20%20_sigma_max_nondim%20%3D%200.310%0A%0A%20%20%20%20def%20_report(name%2C%20N%2C%20f0%2C%20H%2C%20Lambda)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ld%20%3D%20N%20*%20H%20%2F%20f0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20k_max%20%3D%20_mu_max%20%2F%20Ld%0A%20%20%20%20%20%20%20%20L_wave%20%3D%202%20*%20np.pi%20%2F%20k_max%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sigma_dim%20%3D%20_sigma_max_nondim%20*%20Lambda%20*%20f0%20%2F%20N%20%20%20%23%20sigma_nondim%20*%20(Lambda*f0%2FN)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tau%20%3D%201.0%20%2F%20sigma_dim%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20f%22**%7Bname%7D%3A**%20%24L_d%24%3D%7BLd%2F1e3%3A.0f%7D%20km%2C%20most-unstable%20wavelength%20%24%5C%5Capprox%24%7BL_wave%2F1e3%3A.0f%7D%20km%2C%20e-folding%20time%20%24%5C%5Capprox%24%7Btau%2F3600%3A.1f%7D%20hours%22%0A%0A%20%20%20%20_atmos%20%3D%20_report(%22Atmosphere%20(storm%20track)%22%2C%20N%3D0.01%2C%20f0%3D1e-4%2C%20H%3D1e4%2C%20Lambda%3D3e-3)%0A%20%20%20%20_ocean%20%3D%20_report(%22Ocean%20(mesoscale%20eddies)%22%2C%20N%3D0.005%2C%20f0%3D1e-4%2C%20H%3D1e3%2C%20Lambda%3D2e-3)%0A%20%20%20%20mo.md(_atmos%20%2B%20%22%5Cn%5Cn%22%20%2B%20_ocean%20%2B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%5Cn%5Cn(Illustrative%20parameter%20choices%2C%20not%20a%20fit%20to%20any%20specific%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22observed%20storm%20or%20eddy%20%E2%80%94%20but%20the%20~10x%20scale%20separation%20and%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22~10x%20timescale%20separation%20are%20the%20real%2C%20robust%20story.)%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Part%20B%20%E2%80%94%202-layer%20nonlinear%20life%20cycle%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20B1.%20The%20full%20life%20cycle%20(precomputed)%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20the%20run%20PLAN.md's%20%22life-cycle%20run%22%20refers%20to%3A%20a%0A%20%20%20%20small-amplitude%20perturbation%20seeded%20on%20a%20mean%20shear%20unstable%20by%20the%0A%20%20%20%20Phillips%20criterion%2C%20integrated%20with%20%60gfdlib.baroclinic.rhs_2layer%60%0A%20%20%20%20at%20the%20notebook's%20full%20%24128%5Ctimes128%24%20resolution%20out%20to%20%24t%3D500%24%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20about%20%2410%5E5%24%20time%20steps%2C%20precomputed%20offline%20(see%20the%20numerical-scheme%0A%20%20%20%20note%20above)%20and%20shipped%20as%20data%20for%20the%20sliders%20below%20to%20scrub.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Aasync%20def%20_(mo%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20import%20sys%20as%20_sys%0A%0A%20%20%20%20if%20_sys.platform%20%3D%3D%20%22emscripten%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20pyodide.http%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20io%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_resp%20%3D%20await%20pyodide.http.pyfetch(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20str(mo.notebook_location()%20%2F%20%22public%22%20%2F%20%22ch16_baroclinic-instability.npz%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lifecycle%20%3D%20np.load(io.BytesIO(await%20_resp.bytes()))%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lifecycle%20%3D%20np.load(mo.notebook_dir()%20%2F%20%22public%22%20%2F%20%22ch16_baroclinic-instability.npz%22)%0A%20%20%20%20return%20(lifecycle%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(lifecycle%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22**Precomputed%20run%20parameters%3A**%20%24n%24%3D%7Bint(lifecycle%5B'n'%5D)%7D%2C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%24F%24%3D%7Bfloat(lifecycle%5B'F'%5D)%3A.2f%7D%2C%20%24U_1%24%3D%7Bfloat(lifecycle%5B'U1'%5D)%3A.2f%7D%2C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%24U_2%24%3D%7Bfloat(lifecycle%5B'U2'%5D)%3A.2f%7D%2C%20%24%5C%5Cbeta%24%3D%7Bfloat(lifecycle%5B'beta'%5D)%3A.2f%7D%2C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Ekman%20drag%20%24r%24%3D%7Bfloat(lifecycle%5B'r'%5D)%3A.2f%7D%2C%20seeded%20at%20wavenumber%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%24k%24%3D%7Bint(lifecycle%5B'kseed'%5D)%7D%20%E2%80%94%20the%20same%20parameters%20used%20to%20derive%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22the%20life%20cycle%20described%20in%20%60NOTATION.md%60.%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(lifecycle%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20frame_ui%20%3D%20mo.ui.slider(0%2C%20len(lifecycle%5B%22t%22%5D)%20-%201%2C%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20value%3Dlen(lifecycle%5B%22t%22%5D)%20-%201%2C%20label%3D%22frame%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20frame_ui%0A%20%20%20%20return%20(frame_ui%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(frame_ui%2C%20lifecycle%2C%20np%2C%20plotting%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_i%20%3D%20frame_ui.value%0A%0A%20%20%20%20class%20_G%3A%20%20%23%20minimal%20shim%3A%20plotting.field%20only%20needs%20the%20domain%20length%20L%0A%20%20%20%20%20%20%20%20L%20%3D%202%20*%20np.pi%0A%0A%20%20%20%20fig1%2C%20(ax1a%2C%20ax1b)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(9.5%2C%204.5)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%20%20%20%20plotting.field(ax1a%2C%20lifecycle%5B%22q1%22%5D%5B_i%5D%2C%20grid%3D_G()%2C%20signed%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22upper%20layer%20%24q_1'%24%2C%20%24t%3D%7Blifecycle%5B't'%5D%5B_i%5D%3A.0f%7D%24%22)%0A%20%20%20%20plotting.field(ax1b%2C%20lifecycle%5B%22q2%22%5D%5B_i%5D%2C%20grid%3D_G()%2C%20signed%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22lower%20layer%20%24q_2'%24%2C%20%24t%3D%7Blifecycle%5B't'%5D%5B_i%5D%3A.0f%7D%24%22)%0A%20%20%20%20fig1%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Energetics%3A%20the%20life%20cycle%20in%20one%20plot%0A%0A%20%20%20%20Eddy%20kinetic%20energy%20(barotropic-like)%20and%20eddy%20potential%20energy%0A%20%20%20%20(proportional%20to%20layer-interface%20displacement%20squared)%20both%20grow%0A%20%20%20%20exponentially%2C%20peak%2C%20and%20decay%20toward%20a%20statistical%20equilibrium.%0A%0A%20%20%20%20**How%20to%20read%20it%3A**%20during%20the%20linear%20phase%20both%20curves%20rise%20on%0A%20%20%20%20parallel%20straight%20lines%20(log%20scale%3A%20same%20exponential%20rate%20%E2%80%94%20the%0A%20%20%20%20growing%20normal%20mode%20has%20a%20fixed%20EPE%2FEKE%20partition).%20The%20energy%0A%20%20%20%20*pathway*%20is%20mean%20APE%20%24%5Cto%24%20eddy%20PE%20%24%5Cto%24%20eddy%20KE%3A%20the%20wave%20first%0A%20%20%20%20distorts%20the%20interface%20(extracting%20potential%20energy%20from%20the%20mean%0A%20%20%20%20slope)%2C%20then%20converts%20that%20displacement%20into%20swirling%20motion.%20The%0A%20%20%20%20peak%20and%20decay%20is%20the%20wave%20breaking%20and%20the%20drag%20draining%20what%20the%0A%20%20%20%20instability%20delivered%3B%20the%20mean%20shear%20%E2%80%94%20held%20fixed%20here%20%E2%80%94%20keeps%0A%20%20%20%20feeding%20it%2C%20which%20is%20why%20the%20end%20state%20is%20a%20statistical%20equilibrium%0A%20%20%20%20rather%20than%20rest.%20In%20the%20real%20atmosphere%20the%20same%20arc%2C%20growth%20to%0A%20%20%20%20breaking%2C%20takes%20about%20a%20week%20and%20is%20called%20a%20*storm*.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(lifecycle%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20fig2%2C%20ax2%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(6.5%2C%204)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%20%20%20%20ax2.plot(lifecycle%5B%22t%22%5D%2C%20lifecycle%5B%22EKE%22%5D%2C%20lw%3D2%2C%20label%3D%22EKE%22)%0A%20%20%20%20ax2.plot(lifecycle%5B%22t%22%5D%2C%20lifecycle%5B%22EPE%22%5D%2C%20lw%3D2%2C%20color%3D%22crimson%22%2C%20label%3D%22EPE%22)%0A%20%20%20%20ax2.plot(lifecycle%5B%22t%22%5D%2C%20lifecycle%5B%22EKE%22%5D%20%2B%20lifecycle%5B%22EPE%22%5D%2C%20lw%3D1.5%2C%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22gray%22%2C%20label%3D%22total%22)%0A%20%20%20%20ax2.set_yscale(%22log%22)%0A%20%20%20%20ax2.set_xlabel(%22%24t%24%22)%3B%20ax2.set_ylabel(%22energy%20(log%20scale)%22)%0A%20%20%20%20ax2.set_title(%22eddy%20energetics%22)%3B%20ax2.legend(fontsize%3D9)%3B%20ax2.grid(alpha%3D0.3%2C%20which%3D%22both%22)%0A%20%20%20%20fig2%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20B2.%20Explore%20the%20mechanism%20yourself%20(live)%0A%0A%20%20%20%20A%20smaller%2C%20fully%20live%20version%20of%20the%20same%20model%20%E2%80%94%20low%20enough%0A%20%20%20%20resolution%20and%20short%20enough%20run%20time%20to%20stay%20interactive%20in%20the%0A%20%20%20%20browser%20%E2%80%94%20so%20you%20can%20test%20the%20hypotheses%20in%20%22Try%20this%22%20below%20with%0A%20%20%20%20your%20own%20parameters.%20This%20panel%20only%20reaches%20the%20*growth%20phase*%3B%20for%0A%20%20%20%20the%20full%20peak-decay-equilibration%20arc%20see%20B1%20above.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20F_ui%20%3D%20mo.ui.slider(0.5%2C%202.0%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D1.0%2C%20label%3D%22%24F%24%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20dU_ui%20%3D%20mo.ui.slider(0.2%2C%201.2%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D0.6%2C%20label%3D%22%24%5C%5CDelta%20U%24%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20beta_ui%20%3D%20mo.ui.slider(0.0%2C%201.0%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D0.5%2C%20label%3D%22%24%5C%5Cbeta%24%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20r_ui%20%3D%20mo.ui.slider(0.0%2C%200.8%2C%20step%3D0.05%2C%20value%3D0.4%2C%20label%3D%22Ekman%20drag%20%24r%24%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20T_ui%20%3D%20mo.ui.slider(20.0%2C%20100.0%2C%20step%3D10.0%2C%20value%3D60.0%2C%20label%3D%22run%20time%20%24T%24%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5BF_ui%2C%20dU_ui%2C%20beta_ui%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Br_ui%2C%20T_ui%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%3E%20Fixed%20at%20%24n%3D48%24%20to%20stay%20interactive%3B%20this%20panel%20shows%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22growth%2Fonset%2C%20not%20the%20full%20multi-hundred-time-unit%20life%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22cycle%20(that's%20what%20B1's%20precomputed%20run%20is%20for).%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20F_ui%2C%20T_ui%2C%20beta_ui%2C%20dU_ui%2C%20r_ui%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20get_sim%2C%20set_sim%20%3D%20mo.state(None)%20%20%20%23%20results%20survive%20the%20run%20button%20resetting%0A%20%20%20%20return%20get_sim%2C%20set_sim%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20run_btn%20%3D%20mo.ui.run_button(label%3D%22%E2%96%B6%20Run%22)%0A%20%20%20%20run_btn%0A%20%20%20%20return%20(run_btn%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20F_ui%2C%0A%20%20%20%20T_ui%2C%0A%20%20%20%20baroclinic%2C%0A%20%20%20%20beta_ui%2C%0A%20%20%20%20dU_ui%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20r_ui%2C%0A%20%20%20%20run_btn%2C%0A%20%20%20%20set_sim%2C%0A%20%20%20%20spectral%2C%0A%20%20%20%20timestep%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20mo.stop(not%20run_btn.value%2C%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Press%20**%E2%96%B6%20Run**%20above%20to%20start.%22)%2C%20kind%3D%22info%22%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_n%20%3D%2048%0A%20%20%20%20_F%2C%20_dU%2C%20_beta%2C%20_r%2C%20_T%20%3D%20F_ui.value%2C%20dU_ui.value%2C%20beta_ui.value%2C%20r_ui.value%2C%20T_ui.value%0A%20%20%20%20_U1%2C%20_U2%20%3D%200.5%20*%20_dU%2C%20-0.5%20*%20_dU%0A%20%20%20%20grid%20%3D%20spectral.Grid(_n)%0A%0A%20%20%20%20_nu%2C%20_nnu%20%3D%205e-3%2C%204%0A%20%20%20%20_kseed%20%3D%201%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(5)%0A%20%20%20%20_eps%20%3D%200.01%0A%20%20%20%20_q1%20%3D%20_eps%20*%20np.cos(_kseed%20*%20grid.x)%20%2B%200.001%20*%20_rng.standard_normal((_n%2C%20_n))%0A%20%20%20%20_q2%20%3D%20-_eps%20*%20np.cos(_kseed%20*%20grid.x)%20%2B%200.001%20*%20_rng.standard_normal((_n%2C%20_n))%0A%20%20%20%20_state_hat%20%3D%20grid.fft(np.stack(%5B_q1%2C%20_q2%5D))%20*%20grid.dealias%0A%20%20%20%20_L_op%20%3D%20-_nu%20*%20grid.k2%20**%20_nnu%0A%0A%20%20%20%20def%20_rhs_nl(t%2C%20sh)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20baroclinic.rhs_2layer(sh%2C%20grid%2C%20_F%2C%20_U1%2C%20_U2%2C%20_beta%2C%20r%3D_r)%0A%0A%20%20%20%20def%20_energetics(state_hat)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20q1_hat%2C%20q2_hat%20%3D%20state_hat%0A%20%20%20%20%20%20%20%20psi1_hat%2C%20psi2_hat%20%3D%20baroclinic.invert_2layer(q1_hat%2C%20q2_hat%2C%20grid%2C%20_F)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20u1%20%3D%20grid.ifft(-grid.ddy(psi1_hat))%3B%20v1%20%3D%20grid.ifft(grid.ddx(psi1_hat))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20u2%20%3D%20grid.ifft(-grid.ddy(psi2_hat))%3B%20v2%20%3D%20grid.ifft(grid.ddx(psi2_hat))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20eke%20%3D%200.5%20*%20np.mean(u1%20**%202%20%2B%20v1%20**%202%20%2B%20u2%20**%202%20%2B%20v2%20**%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20psi1%2C%20psi2%20%3D%20grid.ifft(psi1_hat)%2C%20grid.ifft(psi2_hat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epe%20%3D%200.5%20*%20_F%20*%20np.mean((psi1%20-%20psi2)%20**%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20eke%2C%20epe%0A%0A%20%20%20%20_dt%20%3D%200.005%0A%20%20%20%20_nsteps%20%3D%20max(50%2C%20int(_T%20%2F%20_dt))%0A%20%20%20%20_nsub%20%3D%20max(1%2C%20_nsteps%20%2F%2F%2060)%0A%0A%20%20%20%20_t_hist%2C%20_EKE%2C%20_EPE%20%3D%20%5B%5D%2C%20%5B%5D%2C%20%5B%5D%0A%20%20%20%20_t%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20for%20_s%20in%20range(_nsteps%20%2B%201)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_s%20%25%20_nsub%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_eke%2C%20_epe%20%3D%20_energetics(_state_hat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_EKE.append(_eke)%3B%20_EPE.append(_epe)%3B%20_t_hist.append(_t)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_s%20%3C%20_nsteps%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_state_hat%20%3D%20timestep.ifrk4_step(_state_hat%2C%20_rhs_nl%2C%20_dt%2C%20_L_op)%20*%20grid.dealias%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_t%20%2B%3D%20_dt%0A%0A%20%20%20%20set_sim(%7B%22t%22%3A%20np.array(_t_hist)%2C%20%22EKE%22%3A%20np.array(_EKE)%2C%20%22EPE%22%3A%20np.array(_EPE)%7D)%0A%0A%20%20%20%20mo.callout(mo.md(f%22**Done.**%20%7B_nsteps%7D%20steps%20on%20a%20%7B_n%7D%C3%97%7B_n%7D%20grid.%22)%2C%20kind%3D%22success%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(get_sim%2C%20mo%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20sim%20%3D%20get_sim()%0A%20%20%20%20mo.stop(sim%20is%20None%2C%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Results%20will%20appear%20here%20once%20you%20press%20Run.%22)%2C%20kind%3D%22warn%22%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20fig3%2C%20ax3%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(6.5%2C%204)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%20%20%20%20ax3.plot(sim%5B%22t%22%5D%2C%20sim%5B%22EKE%22%5D%2C%20lw%3D2%2C%20label%3D%22EKE%22)%0A%20%20%20%20ax3.plot(sim%5B%22t%22%5D%2C%20sim%5B%22EPE%22%5D%2C%20lw%3D2%2C%20color%3D%22crimson%22%2C%20label%3D%22EPE%22)%0A%20%20%20%20ax3.set_yscale(%22log%22)%0A%20%20%20%20ax3.set_xlabel(%22%24t%24%22)%3B%20ax3.set_ylabel(%22energy%20(log%20scale)%22)%0A%20%20%20%20ax3.set_title(%22your%20run's%20eddy%20energetics%22)%3B%20ax3.legend(fontsize%3D9)%0A%20%20%20%20ax3.grid(alpha%3D0.3%2C%20which%3D%22both%22)%0A%20%20%20%20fig3%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Try%20this%0A%0A%20%20%20%20-%20**Kill%20the%20drag.**%20Set%20Ekman%20drag%20%24r%24%20to%20%240%24%20in%20B2%3A%20the%20growth%0A%20%20%20%20%20%20rate%20is%20unchanged%20(drag%20doesn't%20affect%20the%20*linear*%20instability)%2C%0A%20%20%20%20%20%20but%20nothing%20will%20ever%20cap%20it%20%E2%80%94%20B1's%20precomputed%20run%20shows%20what%0A%20%20%20%20%20%20happens%20if%20you%20let%20that%20continue%3A%20without%20drag%2C%20energy%20grows%20past%0A%20%20%20%20%20%20any%20physically%20reasonable%20amplitude%2C%20regardless%20of%20hyperviscosity.%0A%20%20%20%20%20%20The%20general%20lesson%3A%20*what%20limits%20an%20instability%20is%20almost%20never%0A%20%20%20%20%20%20what%20starts%20it.*%0A%20%20%20%20-%20**Match%20Part%20A.**%20Using%20%24F%24%20and%20%24%5CDelta%20U%24%2C%20estimate%20an%0A%20%20%20%20%20%20Eady-equivalent%20%24%5CLambda%5Csim%5CDelta%20U%2FH%24%20and%20%24N%5E2%5Csim%20f_0%5E2%2FF%24%2C%0A%20%20%20%20%20%20then%20check%20whether%20the%20seeded%20wavenumber%20(%24k%3D1%24)%20is%20close%20to%0A%20%20%20%20%20%20Part%20A's%20%24%5Cmu_%7Bmax%7D%24%20for%20those%20parameters.%0A%20%20%20%20-%20**Push%20%24%5Cbeta%24.**%20Increase%20%24%5Cbeta%24%20in%20B2%20until%20the%20flow%20no%20longer%0A%20%20%20%20%20%20goes%20unstable%20(Phillips'%20necessary%20condition%3A%0A%20%20%20%20%20%20%24%5Cbeta_2%3D%5Cbeta-F%5CDelta%20U%24%20must%20be%20able%20to%20change%20sign%2C%20so%20the%0A%20%20%20%20%20%20threshold%20is%20at%20%24%5Cbeta%3DF%5CDelta%20U%24%20%E2%80%94%20compute%20it%20from%20your%20slider%0A%20%20%20%20%20%20values%20*before*%20running)%20%E2%80%94%20find%20it%20experimentally%20by%20watching%20EKE%0A%20%20%20%20%20%20stay%20flat%20instead%20of%20growing.%20This%20threshold%20is%20real%20physics%3A%0A%20%20%20%20%20%20it's%20why%20the%20ocean's%20weakly-sheared%20interior%20is%20only%20marginally%0A%20%20%20%20%20%20baroclinically%20unstable%2C%20while%20strongly-sheared%20western%20boundary%0A%20%20%20%20%20%20current%20extensions%20are%20eddy%20factories.%0A%20%20%20%20-%20**Watch%20the%20tilt.**%20In%20B1%2C%20pick%20a%20frame%20during%20the%20growth%20phase%0A%20%20%20%20%20%20and%20compare%20the%20%24q_1'%24%20and%20%24q_2'%24%20patterns%3A%20the%20upper-layer%20wave%0A%20%20%20%20%20%20should%20sit%20shifted%20*westward*%20(leftward)%20of%20the%20lower-layer%20wave.%0A%20%20%20%20%20%20That%20phase%20tilt%20against%20the%20shear%20is%20the%20wedge-of-instability%0A%20%20%20%20%20%20geometry%20made%20visible%20%E2%80%94%20and%20when%20the%20tilt%20vanishes%20near%20the%0A%20%20%20%20%20%20energy%20peak%2C%20growth%20stops.%20Forecasters%20look%20for%20exactly%20this%20tilt%0A%20%20%20%20%20%20in%20real%20soundings.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20What%20you%20should%20have%20seen%0A%0A%20%20%20%20Both%20halves%20of%20this%20notebook%20tell%20the%20same%20story%20at%20different%0A%20%20%20%20levels%3A%20the%20Eady%20calculator%20predicts%20a%20most-unstable%20scale%20and%20an%0A%20%20%20%20e-folding%20time%20from%20stratification%20and%20shear%20alone%20%E2%80%94%20length%20scales%0A%20%20%20%20an%20order%20of%20magnitude%20apart%20for%20the%20atmosphere%20and%20ocean%2C%20exactly%20as%0A%20%20%20%20observed%20%E2%80%94%20and%20the%202-layer%20model%20shows%20what%20that%20instability%0A%20%20%20%20actually%20*does*%3A%20grow%20exponentially%2C%20extract%20available%20potential%0A%20%20%20%20energy%20from%20the%20sloping%20mean%20state%2C%20break%20nonlinearly%2C%20and%20settle%0A%20%20%20%20into%20a%20statistically%20steady%20turbulent%20equilibrium.%20This%20is%20the%0A%20%20%20%20mechanism%20that%20generates%20essentially%20every%20mid-latitude%20storm%20and%0A%20%20%20%20every%20ocean%20mesoscale%20eddy.%0A%0A%20%20%20%20**Where%20this%20goes%20next.**%20The%20equilibrated%20end%20state%20of%20this%0A%20%20%20%20notebook%20%E2%80%94%20a%20soup%20of%20eddies%20stirred%20by%20an%20inexhaustible%20mean%0A%20%20%20%20gradient%20%E2%80%94%20is%20the%20*starting%20point*%20of%20Part%20VI%3A%20Ch.%2018%20studies%20the%0A%20%20%20%20eddy%20soup's%20own%20dynamics%20(cascades%2C%20jets)%2C%20Ch.%2019%20asks%20what%20the%0A%20%20%20%20eddies%20*transport*%2C%20and%20Chs.%2020%E2%80%9321%20build%20the%20mean%20circulations%20they%0A%20%20%20%20feed%20on.%20Ch.%2017%20first%20finishes%20the%20instability%20survey%20with%20the%0A%20%20%20%20cases%20this%20chapter's%20balanced%20framework%20can't%20see.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A