ch06 geostrophic-adjustment

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.23.9%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Chapter%206%20%E2%80%94%20Rotating%20Shallow%20Water%20%26%20Geostrophic%20Adjustment%0A%0A%20%20%20%20**Physical%20question.**%20Release%20a%20fluid%20at%20rest%20with%20a%20bump%20of%20height%0A%20%20%20%20on%20it.%20Fast%20gravity%20waves%20radiate%20the%20disturbance%20outward%2C%20but%0A%20%20%20%20rotation%20traps%20a%20balanced%20remnant%20behind.%20After%20this%20chapter%20you%0A%20%20%20%20should%20be%20able%20to%20predict%2C%20from%20the%20ratio%20of%20the%20bump's%20size%20to%20the%0A%20%20%20%20deformation%20radius%2C%20how%20much%20of%20the%20initial%20disturbance%20survives%20as%0A%20%20%20%20organized%20geostrophic%20flow%20%E2%80%94%20and%2C%20on%20a%20%24%5Cbeta%24-plane%2C%20which%20way%20that%0A%20%20%20%20remnant%20drifts.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Governing%20equations%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20From%20shallow%20water%20to%20the%20linear%20system%0A%0A%20%20%20%20The%20rotating%20shallow-water%20(RSW)%20equations%20govern%20a%20thin%20layer%20of%0A%20%20%20%20constant-density%20fluid%20with%20a%20free%20surface%20at%20%24H%2B%5Ceta%24%20(symbols%20as%0A%20%20%20%20in%20%5BNOTATION%5D(..%2Fnotation))%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7BD%5Cmathbf%20u%7D%7BDt%7D%2Bf%5Chat%7B%5Cmathbf%20z%7D%5Ctimes%5Cmathbf%20u%3D-g%5Cnabla%5Ceta%2C%0A%20%20%20%20%20%20%5Cqquad%20%5Ceta_t%2B%5Cnabla%5Ccdot%5Cbig%5B(H%2B%5Ceta)%5Cmathbf%20u%5Cbig%5D%3D0.%24%24%0A%0A%20%20%20%20For%20small%20disturbances%20about%20rest%20(%24%7C%5Cmathbf%20u%7C%24%20small%2C%0A%20%20%20%20%24%7C%5Ceta%7C%5Cll%20H%24)%20drop%20every%20product%20of%20two%20small%20quantities%3A%20the%0A%20%20%20%20advection%20%24(%5Cmathbf%20u%5Ccdot%5Cnabla)%5Cmathbf%20u%24%20and%20the%20%24%5Ceta%5Cmathbf%20u%24%0A%20%20%20%20flux%20both%20go%2C%20leaving%20a%20*linear*%20system.%20Now%20nondimensionalize%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20time%20by%20%24f_0%5E%7B-1%7D%24%20(the%20rotation%20period%20is%20the%20clock)%2C%20height%20by%0A%20%20%20%20%24H%24%2C%20velocity%20by%20the%20gravity-wave%20speed%20%24c%3D%5Csqrt%7BgH%7D%24%2C%20and%20length%20by%0A%20%20%20%20the%20one%20scale%20the%20system%20builds%20from%20its%20own%20constants%3A%0A%0A%20%20%20%20%3E%20**Rossby%20deformation%20radius**%0A%20%20%20%20%3E%20%24%5C%3BL_R%3D%5Cdfrac%7Bc%7D%7Bf_0%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7BgH%7D%7D%7Bf_0%7D%24%20%E2%80%94%20*the%20distance%20a%0A%20%20%20%20%3E%20gravity%20wave%20travels%20in%20one%20rotation%20period%3B%20the%20scale%20at%20which%0A%20%20%20%20%3E%20rotation%20and%20buoyancy%20contest%20control%20of%20the%20flow.*%20Atmosphere%3A%0A%20%20%20%20%3E%20%24L_R%5Csim1000%5C%2C%24km.%20Ocean%20(first%20baroclinic%20mode)%3A%20%24L_R%5Csim%0A%20%20%20%20%3E%2030%24%E2%80%93%2450%5C%2C%24km%20%E2%80%94%20which%20is%20why%20ocean%20%22weather%22%20(eddies)%20is%2020%C3%97%20smaller%0A%20%20%20%20%3E%20than%20atmospheric%20weather.%20Disturbances%20**wider**%20than%20%24L_R%24%20feel%0A%20%20%20%20%3E%20rotation%20before%20they%20can%20disperse%3B%20**narrower**%20ones%20disperse%0A%20%20%20%20%3E%20before%20rotation%20matters.%20That%20single%20sentence%20is%20this%20whole%0A%20%20%20%20%3E%20chapter.%0A%0A%20%20%20%20The%20nondimensional%20system%20(hats)%2C%20on%20a%20%24%5Cbeta%24-plane%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Chat%5Ceta_t%2B%5Chat%20u_x%2B%5Chat%20v_y%3D0%2C%5Cqquad%0A%20%20%20%20%20%20%5Chat%20u_t-%5Chat%20f%5Chat%20v%3D-%5Chat%5Ceta_x%2C%5Cqquad%0A%20%20%20%20%20%20%5Chat%20v_t%2B%5Chat%20f%5Chat%20u%3D-%5Chat%5Ceta_y%2C%0A%20%20%20%20%20%20%5Cqquad%20%5Chat%20f%3D1%2B%5Chat%5Cbeta%5C%2C(y-y_0).%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20The%20wave%20families%20(substitute%20and%20see)%0A%0A%20%20%20%20Try%20%24e%5E%7Bi(kx%2Bly-%5Comega%20t)%7D%24%20on%20the%20%24f%24-plane%20(%24%5Chat%5Cbeta%3D0%24).%20The%0A%20%20%20%20%243%5Ctimes3%24%20linear%20system%20has%20solutions%20only%20when%20its%20determinant%0A%20%20%20%20vanishes%2C%20which%20factors%20into%20%24%5Comega%5Cbig(%5Comega%5E2-(1%2Bk%5E2%2Bl%5E2)%5Cbig)%3D0%24%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20%24%5Comega%3D0%24%3A%20a%20**steady%20geostrophic%20mode**%20%E2%80%94%20balance%20is%20an%20*exact%0A%20%20%20%20%20%20solution*%20of%20the%20linear%20equations%2C%20at%20every%20wavenumber.%20It%20doesn't%0A%20%20%20%20%20%20oscillate%3B%20it%20just%20sits%20there.%0A%20%20%20%20-%20%24%5Comega%3D%5Cpm%5Csqrt%7B1%2Bk%5E2%2Bl%5E2%7D%24%3A%20fast%20**inertia%E2%80%93gravity%20waves**%0A%20%20%20%20%20%20(dimensionally%20%24%5Comega%5E2%3Df_0%5E2%2Bc%5E2K%5E2%24%20%E2%80%94%20pure%20inertial%0A%20%20%20%20%20%20oscillations%20at%20large%20scale%2C%20pure%20gravity%20waves%20at%20small%20scale).%0A%20%20%20%20%20%20These%20are%20the%20radiators%3A%20they%20carry%20energy%20away.%0A%0A%20%20%20%20With%20%24%5Chat%5Cbeta%5Cneq0%24%20the%20%24%5Comega%3D0%24%20mode%20is%20promoted%20to%20a%20slow%2C%0A%20%20%20%20westward-propagating%20**Rossby%20wave**%2C%0A%20%20%20%20%24%5Comega_R%3D-%5Chat%5Cbeta%20k%2F(k%5E2%2B1)%24%20%E2%80%94%20the%20balanced%20remnant%20stops%20being%0A%20%20%20%20exactly%20steady%20(Chs.%208%E2%80%939%20take%20that%20thread%20up%20properly).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Potential%20vorticity%3A%20the%20conserved%20skeleton%0A%0A%20%20%20%20Which%20combination%20of%20fields%20*doesn't*%20radiate%20away%3F%20Cross-differentiate%0A%20%20%20%20the%20two%20momentum%20equations%20to%20get%20the%20vorticity%20equation%2C%20and%20combine%0A%20%20%20%20it%20with%20the%20height%20equation%20(%24%5Czeta%3D%5Chat%20v_x-%5Chat%20u_y%24%2C%20%24f%24-plane)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Czeta_t%2B(%5Chat%20u_x%2B%5Chat%20v_y)%3D0%0A%20%20%20%20%20%20%5Cquad%5Ctext%7Band%7D%5Cquad%0A%20%20%20%20%20%20%5Chat%5Ceta_t%2B(%5Chat%20u_x%2B%5Chat%20v_y)%3D0%0A%20%20%20%20%20%20%5C%3B%5C%3B%5CLongrightarrow%5C%3B%5C%3B%0A%20%20%20%20%20%20%5Cpartial_t%5Cunderbrace%7B(%5Czeta-%5Chat%5Ceta)%7D_%7Bq%7D%3D0.%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20divergence%20%E2%80%94%20the%20one%20thing%20gravity%20waves%20are%20made%20of%20%E2%80%94%20cancels%0A%20%20%20%20*identically*%2C%20so%20the%20**linear%20potential%20vorticity**%20%24q%3D%5Czeta-%5Chat%5Ceta%24%0A%20%20%20%20is%20conserved%20pointwise%20at%20every%20location%2C%20for%20all%20time%2C%20no%20matter%20how%0A%20%20%20%20violent%20the%20wave%20transients.%20(On%20the%20%24%5Cbeta%24-plane%20it%20instead%20obeys%0A%20%20%20%20%24q_t%3D-%5Chat%5Cbeta%5Chat%20v%24%3A%20meridional%20motion%20across%20the%20planetary%0A%20%20%20%20vorticity%20gradient%20is%20the%20*only*%20thing%20that%20can%20change%20it.)%0A%0A%20%20%20%20This%20turns%20adjustment%20into%20a%20prediction%20machine.%20The%20end%20state%20is%0A%20%20%20%20steady%20and%20geostrophic%20(%24%5Chat%20u_%7Bbal%7D%3D-%5Ceta_%7Bbal%2Cy%7D%24%2C%0A%20%20%20%20%24%5Chat%20v_%7Bbal%7D%3D%5Ceta_%7Bbal%2Cx%7D%24%2C%20so%20%24%5Czeta_%7Bbal%7D%3D%5Cnabla%5E2%5Ceta_%7Bbal%7D%24)%2C%0A%20%20%20%20and%20it%20must%20carry%20the%20same%20%24q%24%20the%20fluid%20started%20with%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24(%5Cnabla%5E2-1)%5C%2C%5Ceta_%7Bbal%7D%3Dq(t%7B%3D%7D0)%3D-%5Chat%5Ceta_0%0A%20%20%20%20%20%20%5Cqquad%5Ctext%7B(since%20%7D%5Cmathbf%20u%3D0%5Ctext%7B%20initially).%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20final%20balanced%20state%20is%20therefore%20fixed%20**before%20a%20single%0A%20%20%20%20gravity%20wave%20has%20moved**%20%E2%80%94%20adjustment%20merely%20redistributes%20energy%0A%20%20%20%20around%20a%20PV%20field%20it%20cannot%20touch.%20In%20Fourier%20space%20the%20inversion%0A%20%20%20%20reads%20%24%5Ceta_%7Bbal%7D%3D%5Chat%5Ceta_0%2F(k%5E2%2Bl%5E2%2B1)%24%3A%20a%20**low-pass%20filter%20with%0A%20%20%20%20cutoff%20at%20the%20deformation%20radius**.%20Scales%20%24%5Cgg%20L_R%24%20(%24k%5Cll1%24)%20pass%0A%20%20%20%20through%20untouched%3B%20scales%20%24%5Cll%20L_R%24%20are%20annihilated.%20Keep%20that%0A%20%20%20%20filter%20in%20mind%20when%20you%20compare%20the%20presets%20below.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Aasync%20def%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20---%20vetted%20primitives%20from%20gfdlib%20(see%20CLAUDE.md)%20-------------------%0A%20%20%20%20import%20sys%0A%0A%20%20%20%20if%20sys.platform%20%3D%3D%20%22emscripten%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20running%20in%20the%20browser%20(Pyodide%2FWASM)%3A%20install%20the%20gfdlib%20wheel%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20shipped%20alongside%20the%20exported%20notebook%20in%20its%20public%2F%20folder%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20micropip%0A%20%20%20%20%20%20%20%20await%20micropip.install(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20str(mo.notebook_location()%20%2F%20%22public%22%20%2F%20%22gfdlib-0.1.0-py3-none-any.whl%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sys.path.insert(0%2C%20str(mo.notebook_dir().parent))%20%20%23%20repo%20root%0A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20gfdlib%20import%20spectral%2C%20timestep%2C%20plotting%2C%20shallowwater%0A%0A%20%20%20%20return%20np%2C%20plotting%2C%20plt%2C%20shallowwater%2C%20spectral%2C%20timestep%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Numerical%20scheme%0A%0A%20%20%20%20Pseudo-spectral%20on%20a%20doubly-periodic%20%24%5B0%2CL)%5E2%24%20domain%2C%20%24L%3D20%5C%2CL_R%24%3A%0A%20%20%20%20derivatives%20are%20exact%20in%20Fourier%20space%20(%60gfdlib.spectral.Grid%60)%3B%20the%0A%20%20%20%20Coriolis%20terms%20%24%5Chat%20f%5Chat%20u%2C%5Chat%20f%5Chat%20v%24%20are%20evaluated%20in%20physical%0A%20%20%20%20space%20since%20%24%5Chat%20f%3D%5Chat%20f(y)%24.%20The%20system%20is%20exactly%20linear%2C%20so%0A%20%20%20%20classical%20RK4%20(%60gfdlib.timestep.rk4%60%2C%20whose%20stability%20region%20covers%0A%20%20%20%20the%20imaginary%20axis)%20integrates%20the%20gravity-%20and%20Rossby-wave%0A%20%20%20%20oscillations%20stably%20at%20a%20CFL-limited%20%24%5CDelta%20t%5Capprox0.4%5C%2C%5CDelta%20x%24%0A%20%20%20%20(%60gfdlib.shallowwater.rhs%60).%20There%20are%20no%20quadratic%20nonlinear%20terms%2C%0A%20%20%20%20so%20no%20dealiasing%20is%20needed.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20scenario%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Small-scale%20burst%20%E2%80%94%20waves%20win%20(%CF%83%20%E2%89%AA%20L_R)%22%3A%20%22small%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Large-scale%20surge%20%E2%80%94%20balance%20survives%20(%CF%83%20%E2%89%AB%20L_R)%22%3A%20%22large%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%CE%B2-plane%20drift%20%E2%80%94%20Rossby%20propagation%22%3A%20%22beta%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Small-scale%20burst%20%E2%80%94%20waves%20win%20(%CF%83%20%E2%89%AA%20L_R)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Preset%20scenario%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20scenario%0A%20%20%20%20return%20(scenario%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20scenario)%3A%0A%20%20%20%20_presets%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22small%22%3A%20dict(n%3D128%2C%20sigma%3D0.5%2C%20amp%3D0.5%2C%20beta%3D0.0%2C%20%20T%3D15.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22large%22%3A%20dict(n%3D128%2C%20sigma%3D3.0%2C%20amp%3D0.5%2C%20beta%3D0.0%2C%20%20T%3D15.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22beta%22%3A%20%20dict(n%3D128%2C%20sigma%3D2.0%2C%20amp%3D0.5%2C%20beta%3D0.16%2C%20T%3D15.0)%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20_p%20%3D%20_presets%5Bscenario.value%5D%0A%0A%20%20%20%20n_ui%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%7B%2264%22%3A%2064%2C%20%22128%22%3A%20128%2C%20%22256%22%3A%20256%7D%2C%20value%3Dstr(_p%5B%22n%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22resolution%20%24n%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20sigma_ui%20%3D%20mo.ui.slider(0.25%2C%204.0%2C%20step%3D0.25%2C%20value%3D_p%5B%22sigma%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22perturbation%20width%20%24%5C%5Csigma%2FL_R%24%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20amp_ui%20%3D%20mo.ui.slider(0.1%2C%201.0%2C%20step%3D0.05%2C%20value%3D_p%5B%22amp%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22amplitude%20%24%5C%5Ceta_0%2FH%24%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20beta_ui%20%3D%20mo.ui.slider(0.0%2C%200.5%2C%20step%3D0.02%2C%20value%3D_p%5B%22beta%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22%24%5C%5Chat%5C%5Cbeta%24%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20T_ui%20%3D%20mo.ui.slider(5.0%2C%2030.0%2C%20step%3D2.5%2C%20value%3D_p%5B%22T%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22run%20time%20%24T%24%20(%24f_0%5E%7B-1%7D%24)%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bn_ui%2C%20sigma_ui%2C%20amp_ui%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bbeta_ui%2C%20T_ui%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%3E%20**In%20the%20browser%20(WASM)%3A**%20start%20with%20%24n%3D64%24.%20The%20domain%20is%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%2420%5C%2CL_R%24%20across%20%E2%80%94%20keep%20%24T%24%20well%20under%2020%20so%20the%20radiating%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22gravity%20waves%20don't%20wrap%20around%20the%20periodic%20boundary.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20T_ui%2C%20amp_ui%2C%20beta_ui%2C%20n_ui%2C%20sigma_ui%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20get_sim%2C%20set_sim%20%3D%20mo.state(None)%20%20%20%23%20results%20survive%20the%20run%20button%20resetting%0A%20%20%20%20return%20get_sim%2C%20set_sim%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20run_btn%20%3D%20mo.ui.run_button(label%3D%22%E2%96%B6%20Run%20simulation%22)%0A%20%20%20%20run_btn%0A%20%20%20%20return%20(run_btn%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20T_ui%2C%0A%20%20%20%20amp_ui%2C%0A%20%20%20%20beta_ui%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20n_ui%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20run_btn%2C%0A%20%20%20%20set_sim%2C%0A%20%20%20%20shallowwater%2C%0A%20%20%20%20sigma_ui%2C%0A%20%20%20%20spectral%2C%0A%20%20%20%20timestep%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20mo.stop(not%20run_btn.value%2C%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Press%20**%E2%96%B6%20Run%20simulation**%20above%20to%20start.%22)%2C%20kind%3D%22info%22%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_n%2C%20_sigma%2C%20_amp%2C%20_beta%2C%20_T%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_ui.value%2C%20sigma_ui.value%2C%20amp_ui.value%2C%20beta_ui.value%2C%20T_ui.value%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_L%20%3D%2020.0%0A%0A%20%20%20%20grid%20%3D%20spectral.Grid(_n%2C%20L%3D_L)%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20build%20ONCE%2C%20reuse%20every%20step%0A%20%20%20%20_f%20%3D%20shallowwater.coriolis(grid%2C%20_beta)%0A%0A%20%20%20%20_x0%20%3D%20_y0%20%3D%200.5%20*%20_L%0A%20%20%20%20_eta0%20%3D%20_amp%20*%20np.exp(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-((grid.x%20-%20_x0)%20**%202%20%2B%20(grid.y%20-%20_y0)%20**%202)%20%2F%20(2%20*%20_sigma%20**%202)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_state%20%3D%20np.stack(%5B_eta0%2C%20np.zeros_like(_eta0)%2C%20np.zeros_like(_eta0)%5D)%0A%20%20%20%20_q0%20%3D%20shallowwater.potential_vorticity(_state%2C%20grid)%0A%20%20%20%20_eta_bal%20%3D%20shallowwater.invert_pv(_q0%2C%20grid)%20%20%20%23%20predicted%20end%20state%2C%20from%20t%3D0%0A%0A%20%20%20%20_dt%20%3D%200.4%20*%20grid.dx%0A%20%20%20%20_nsteps%20%3D%20max(50%2C%20int(_T%20%2F%20_dt))%0A%20%20%20%20_nsub%20%3D%20max(1%2C%20_nsteps%20%2F%2F%20100)%0A%0A%20%20%20%20def%20_rhs(t%2C%20s)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20shallowwater.rhs(s%2C%20grid%2C%20_f)%0A%0A%20%20%20%20_snaps%2C%20_t_hist%2C%20_KE%2C%20_PE%20%3D%20%5B%5D%2C%20%5B%5D%2C%20%5B%5D%2C%20%5B%5D%0A%20%20%20%20_t%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20for%20_s%20in%20range(_nsteps%20%2B%201)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_s%20%25%20_nsub%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_snaps.append(_state.astype(np.float32))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_t_hist.append(_t)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_eta_s%2C%20_u_s%2C%20_v_s%20%3D%20_state%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_KE.append(0.5%20*%20np.mean(_u_s%20**%202%20%2B%20_v_s%20**%202))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_PE.append(0.5%20*%20np.mean(_eta_s%20**%202))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_s%20%3C%20_nsteps%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_state%20%3D%20timestep.rk4(_rhs%2C%20_state%2C%20_dt)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_t%20%2B%3D%20_dt%0A%0A%20%20%20%20_qf%20%3D%20shallowwater.potential_vorticity(_state%2C%20grid)%0A%0A%20%20%20%20set_sim(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22snaps%22%3A%20_snaps%2C%20%22t%22%3A%20np.array(_t_hist)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22KE%22%3A%20np.array(_KE)%2C%20%22PE%22%3A%20np.array(_PE)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22q0%22%3A%20_q0%2C%20%22qf%22%3A%20_qf%2C%20%22eta_bal%22%3A%20_eta_bal%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22grid%22%3A%20grid%2C%20%22beta%22%3A%20_beta%2C%20%22sigma%22%3A%20_sigma%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20mo.callout(mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22**Done.**%20%7B_nsteps%7D%20steps%20on%20a%20%7B_n%7D%C3%97%7B_n%7D%20grid%20%C2%B7%20%7Blen(_snaps)%7D%20frames.%22%0A%20%20%20%20)%2C%20kind%3D%22success%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(get_sim%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20sim%20%3D%20get_sim()%0A%20%20%20%20mo.stop(sim%20is%20None%2C%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Results%20will%20appear%20here%20once%20the%20simulation%20has%20run.%22)%2C%20kind%3D%22warn%22%0A%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20return%20(sim%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20sim)%3A%0A%20%20%20%20frame_ui%20%3D%20mo.ui.slider(0%2C%20len(sim%5B%22snaps%22%5D)%20-%201%2C%20step%3D1%2C%20value%3Dlen(sim%5B%22snaps%22%5D)%20-%201%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22frame%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20return%20(frame_ui%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(frame_ui%2C%20mo%2C%20plotting%2C%20plt%2C%20sim)%3A%0A%20%20%20%20%23%20---%20diagnostic%201%3A%20snapshot%20browser%20--%20height%20%2B%20velocity%20vectors%20-------%0A%20%20%20%20_i%20%3D%20frame_ui.value%0A%20%20%20%20_eta%2C%20_u%2C%20_v%20%3D%20sim%5B%22snaps%22%5D%5B_i%5D%0A%20%20%20%20_grid%20%3D%20sim%5B%22grid%22%5D%0A%20%20%20%20_vmax%20%3D%20max(float(sim%5B%22snaps%22%5D%5B0%5D%5B0%5D.max())%2C%201e-12)%0A%0A%20%20%20%20fig1%2C%20ax1%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(5%2C%204.5)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%20%20%20%20plotting.field(ax1%2C%20_eta%2C%20grid%3D_grid%2C%20signed%3DTrue%2C%20title%3Df%22%24%5C%5Ceta%24%20at%20%24t%3D%7Bsim%5B't'%5D%5B_i%5D%3A.1f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20vmin%3D-_vmax%2C%20vmax%3D_vmax)%0A%20%20%20%20_skip%20%3D%20max(1%2C%20_grid.n%20%2F%2F%2016)%0A%20%20%20%20ax1.quiver(_grid.x%5B%3A%3A_skip%2C%20%3A%3A_skip%5D%2C%20_grid.y%5B%3A%3A_skip%2C%20%3A%3A_skip%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_u%5B%3A%3A_skip%2C%20%3A%3A_skip%5D%2C%20_v%5B%3A%3A_skip%2C%20%3A%3A_skip%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20scale%3D4%2C%20width%3D0.004%2C%20alpha%3D0.7%2C%20color%3D%22k%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bframe_ui%2C%20fig1%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Energy%20partition%0A%0A%20%20%20%20Initially%20all%20energy%20is%20potential%20(%24%5Ceta_0%5Cneq0%24%2C%20%24%5Cmathbf%20u%3D0%24).%0A%20%20%20%20Gravity-wave%20radiation%20converts%20it%20toward%20kinetic%20energy%20as%20the%20waves%0A%20%20%20%20propagate%20outward%3B%20the%20balanced%20remnant%20left%20behind%20settles%20into%20a%0A%20%20%20%20roughly%20fixed%20%24KE%24%2F%24PE%24%20split.%0A%0A%20%20%20%20**A%20classical%2C%20slightly%20scandalous%20fact**%20(Rossby%201938%3B%20Gill%20%C2%A77.2)%3A%0A%20%20%20%20adjustment%20is%20energetically%20*wasteful*.%20For%20the%20textbook%20step-profile%0A%20%20%20%20case%2C%20of%20the%20potential%20energy%20released%20by%20flattening%20the%20interface%2C%0A%20%20%20%20only%20**one%20third**%20ends%20up%20as%20kinetic%20energy%20of%20the%20balanced%20state%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20the%20other%20two%20thirds%20is%20radiated%20away%20by%20gravity%20waves%2C%20gone%20for%0A%20%20%20%20good.%20Balance%20is%20not%20an%20energy-conserving%20rearrangement%3B%20it%20is%20what%0A%20%20%20%20remains%20after%20the%20fluid%20has%20paid%20a%20large%20wave%20tax.%20Watch%20for%20it%0A%20%20%20%20below%3A%20the%20total-energy%20curve%20(dashed)%20stays%20flat%20because%20the%0A%20%20%20%20*domain*%20is%20closed%2C%20but%20the%20energy%20near%20the%20disturbance%20drops%20as%20the%0A%20%20%20%20wave%20front%20carries%20its%20share%20outward.%0A%0A%20%20%20%20**Derive%20the%20wave%20tax%20yourself%2C%20one%20Fourier%20mode%20at%20a%20time.**%20For%20a%0A%20%20%20%20single%20mode%20of%20(nondimensional)%20wavenumber%20%24k%24%20released%20from%20rest%0A%20%20%20%20with%20height%20amplitude%20%24%5Chat%5Ceta_0%24%3A%20the%20initial%20energy%20is%20all%0A%20%20%20%20potential%2C%20%24E_0%3D%5Ctfrac14%7C%5Chat%5Ceta_0%7C%5E2%24%20per%20unit%20area%20(the%0A%20%20%20%20%24%5Ctfrac14%24%20from%20averaging%20%24%5Ccos%5E2%24).%20The%20balanced%20end%20state%20has%0A%20%20%20%20%24%5Chat%5Ceta_%7Bbal%7D%3D%5Chat%5Ceta_0%2F(1%2Bk%5E2)%24%20(the%20low-pass%20inversion%20above)%2C%0A%20%20%20%20and%20its%20geostrophic%20velocity%20%24(%5Chat%20u%2C%5Chat%20v)%3D(-%5Ceta_y%2C%5Ceta_x)%24%0A%20%20%20%20carries%20kinetic%20energy%20%24k%5E2%24%20times%20its%20potential%20energy.%20Total%0A%20%20%20%20retained%20energy%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24E_%7Bbal%7D%3D%5Cunderbrace%7B%5Ctfrac14%7C%5Chat%5Ceta_%7Bbal%7D%7C%5E2%7D_%7BPE%7D%0A%20%20%20%20%20%20%2B%5Cunderbrace%7B%5Ctfrac14k%5E2%7C%5Chat%5Ceta_%7Bbal%7D%7C%5E2%7D_%7BKE%7D%0A%20%20%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7B1%2Bk%5E2%7D%7B(1%2Bk%5E2)%5E2%7D%5C%2C%5Ctfrac14%7C%5Chat%5Ceta_0%7C%5E2%0A%20%20%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7BE_0%7D%7B1%2Bk%5E2%7D.%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20fraction%20radiated%20is%20therefore%20%24k%5E2%2F(1%2Bk%5E2)%24%2C%20mode%20by%20mode%3A%20a%0A%20%20%20%20long%20wave%20(%24k%5Cll1%24%2C%20scale%20%24%5Cgg%20L_R%24)%20keeps%20nearly%20everything%3B%20a%0A%20%20%20%20short%20wave%20(%24k%5Cgg1%24)%20loses%20nearly%20everything%20%E2%80%94%20the%20energetic%0A%20%20%20%20restatement%20of%20this%20chapter's%20central%20sentence.%20Gill's%20famous%0A%20%20%20%20overall%20%242%2F3%24%20comes%20from%20integrating%20this%20per-mode%20fraction%20over%0A%20%20%20%20the%20step%20profile's%20particular%20spectrum%3B%20broader%20initial%20profiles%0A%20%20%20%20waste%20less%2C%20narrower%20ones%20more.%20And%20notice%20the%20retained%20energy's%0A%20%20%20%20internal%20split%2C%20%24KE%2FPE%3Dk%5E2%24%3A%20large-scale%20balanced%20remnants%20store%0A%20%20%20%20their%20energy%20almost%20entirely%20as%20*potential*%20energy%20%E2%80%94%20the%20reservoir%0A%20%20%20%20Ch.%2016's%20baroclinic%20instability%20will%20later%20raid.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(plt%2C%20sim)%3A%0A%20%20%20%20%23%20---%20diagnostic%202%3A%20energy%20partition%20time%20series%20-------------------------%0A%20%20%20%20fig2%2C%20ax2%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(6%2C%204)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%20%20%20%20_TE%20%3D%20sim%5B%22KE%22%5D%20%2B%20sim%5B%22PE%22%5D%0A%20%20%20%20ax2.plot(sim%5B%22t%22%5D%2C%20sim%5B%22KE%22%5D%20%2F%20_TE%5B0%5D%2C%20lw%3D2%2C%20label%3D%22%24KE%2FE_0%24%22)%0A%20%20%20%20ax2.plot(sim%5B%22t%22%5D%2C%20sim%5B%22PE%22%5D%20%2F%20_TE%5B0%5D%2C%20lw%3D2%2C%20color%3D%22crimson%22%2C%20label%3D%22%24PE%2FE_0%24%22)%0A%20%20%20%20ax2.plot(sim%5B%22t%22%5D%2C%20_TE%20%2F%20_TE%5B0%5D%2C%20lw%3D1.5%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20label%3D%22%24TE%2FE_0%24%22)%0A%20%20%20%20ax2.set_xlabel(%22%24t%5C%5C%20(f_0%5E%7B-1%7D)%24%22)%3B%20ax2.set_ylabel(%22normalized%20energy%22)%0A%20%20%20%20ax2.set_ylim(0%2C%201.15)%3B%20ax2.legend(fontsize%3D9)%3B%20ax2.grid(alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20fig2%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Potential%20vorticity%3A%20what%20does%20and%20doesn't%20change%0A%0A%20%20%20%20Left%2Fmiddle%3A%20%24q%3D%5Czeta-%5Chat%5Ceta%24%20at%20%24t%3D0%24%20and%20at%20the%20final%20time%20%E2%80%94%20on%0A%20%20%20%20the%20%24f%24-plane%20(%24%5Chat%5Cbeta%3D0%24)%20these%20should%20be%20visually%20identical%20(the%0A%20%20%20%20max%20pointwise%20difference%20is%20printed%20below%2C%20and%20is%20at%20machine%0A%20%20%20%20precision).%20Right%3A%20a%20slice%20through%20the%20domain%20center%20comparing%20the%0A%20%20%20%20**predicted**%20balanced%20height%20%24%5Ceta_%7Bbal%7D%3D%24%20%60invert_pv(q0)%60%20%E2%80%94%20computed%0A%20%20%20%20from%20the%20%24t%3D0%24%20field%20alone%2C%20before%20integrating%20a%20single%20step%20%E2%80%94%20against%0A%20%20%20%20the%20**actual**%20simulated%20%24%5Ceta%24%20at%20the%20final%20time.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20np%2C%20plotting%2C%20plt%2C%20sim)%3A%0A%20%20%20%20%23%20---%20diagnostic%203%3A%20PV%20conservation%20%2B%20PV-inversion%20prediction%20-----------%0A%20%20%20%20_grid%20%3D%20sim%5B%22grid%22%5D%0A%20%20%20%20_q0%2C%20_qf%2C%20_eta_bal%20%3D%20sim%5B%22q0%22%5D%2C%20sim%5B%22qf%22%5D%2C%20sim%5B%22eta_bal%22%5D%0A%20%20%20%20_eta_f%20%3D%20sim%5B%22snaps%22%5D%5B-1%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20_mid%20%3D%20_grid.n%20%2F%2F%202%0A%20%20%20%20_dq%20%3D%20float(np.max(np.abs(_qf%20-%20_q0)))%0A%0A%20%20%20%20fig3%2C%20axs3%20%3D%20plt.subplots(1%2C%203%2C%20figsize%3D(13%2C%204)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%20%20%20%20_qmax%20%3D%20max(float(np.abs(_q0).max())%2C%201e-12)%0A%20%20%20%20plotting.field(axs3%5B0%5D%2C%20_q0%2C%20grid%3D_grid%2C%20signed%3DTrue%2C%20title%3D%22%24q%24%20at%20%24t%3D0%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20vmin%3D-_qmax%2C%20vmax%3D_qmax%2C%20cbar%3DFalse)%0A%20%20%20%20plotting.field(axs3%5B1%5D%2C%20_qf%2C%20grid%3D_grid%2C%20signed%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22%24q%24%20at%20%24t%3D%7Bsim%5B't'%5D%5B-1%5D%3A.1f%7D%24%22%2C%20vmin%3D-_qmax%2C%20vmax%3D_qmax)%0A%0A%20%20%20%20_y%20%3D%20_grid.y%5B0%2C%20%3A%5D%0A%20%20%20%20axs3%5B2%5D.plot(_y%2C%20_eta_bal%5B_mid%2C%20%3A%5D%2C%20lw%3D2%2C%20label%3D%22%24%5C%5Ceta_%7Bbal%7D%24%20(predicted%2C%20from%20%24q_0%24)%22)%0A%20%20%20%20axs3%5B2%5D.plot(_y%2C%20_eta_f%5B_mid%2C%20%3A%5D%2C%20lw%3D2%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20color%3D%22crimson%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22%24%5C%5Ceta%24%20(simulated%2C%20final%20%24t%24)%22)%0A%20%20%20%20axs3%5B2%5D.set_xlabel(%22%24y%24%22)%3B%20axs3%5B2%5D.set_title(%22slice%20through%20domain%20center%22)%0A%20%20%20%20axs3%5B2%5D.legend(fontsize%3D8)%3B%20axs3%5B2%5D.grid(alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22**max%20%24%7Cq(t_f)-q(0)%7C%24%20%3D%20%7B_dq%3A.2e%7D**%20%20(max%20%24%7Cq_0%7C%24%20%3D%20%7B_qmax%3A.2f%7D)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig3%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Try%20this%0A%0A%20%20%20%20-%20**Vary%20%24%5Csigma%2FL_R%24.**%20Compare%20the%20%22small%22%20and%20%22large%22%20presets%3A%20how%0A%20%20%20%20%20%20much%20of%20%24%5Ceta_0%24's%20amplitude%20survives%20in%20%24%5Ceta_%7Bbal%7D%24%20in%20each%20case%3F%0A%20%20%20%20%20%20*Do%20the%20estimate%20first%3A*%20a%20Gaussian%20of%20width%20%24%5Csigma%24%20projects%20onto%0A%20%20%20%20%20%20wavenumbers%20%24k%5Csim1%2F%5Csigma%24%2C%20and%20the%20inversion%20multiplies%20each%20by%0A%20%20%20%20%20%20%241%2F(k%5E2%2B1)%24.%20For%20%24%5Csigma%3D0.5%24%20that%20factor%20is%20%24%5Csim1%2F5%24%3B%20for%0A%20%20%20%20%20%20%24%5Csigma%3D3%24%20it%20is%20%24%5Csim0.9%24.%20Check%20the%20slice%20panel%20against%20these%0A%20%20%20%20%20%20numbers.%0A%20%20%20%20-%20**Let%20the%20waves%20finish%20radiating.**%20Increase%20%24T%24%20in%20the%20small-%20or%0A%20%20%20%20%20%20large-scale%20preset%3A%20does%20the%20residual%20between%20the%20predicted%0A%20%20%20%20%20%20%24%5Ceta_%7Bbal%7D%24%20and%20the%20simulated%20%24%5Ceta%24%20at%20the%20domain%20center%20shrink%3F%0A%20%20%20%20%20%20It%20should%20%E2%80%94%20the%20prediction%20is%20only%20%22wrong%22%20by%20whatever%20wave%20energy%0A%20%20%20%20%20%20hasn't%20left%20yet.%20(But%20don't%20push%20%24T%24%20past%20%24%5Csim20%24%3A%20the%20domain%20is%0A%20%20%20%20%20%20periodic%2C%20and%20the%20waves%20you%20radiated%20will%20wrap%20around%20and%20come%0A%20%20%20%20%20%20back.%20That's%20an%20artifact%20of%20the%20box%2C%20not%20physics.)%0A%20%20%20%20-%20**Break%20exact%20PV%20conservation.**%20Switch%20to%20the%20%24%5Cbeta%24-plane%20preset%3A%0A%20%20%20%20%20%20%24q%24%20at%20%24t%3D0%24%20and%20at%20the%20final%20time%20are%20no%20longer%20identical.%20Where%20in%0A%20%20%20%20%20%20the%20domain%20is%20%24%7Cq(t_f)-q(0)%7C%24%20largest%3F%20The%20%24%5Cbeta%24-plane%20source%20is%0A%20%20%20%20%20%20%24q_t%3D-%5Chat%5Cbeta%5Chat%20v%24%2C%20so%20the%20change%20should%20concentrate%20where%20the%0A%20%20%20%20%20%20*meridional%20velocity*%20has%20been%20strongest%2C%20not%20where%20%24%5Ceta%24%20is%0A%20%20%20%20%20%20largest%20%E2%80%94%20check%20against%20the%20velocity%20arrows.%0A%20%20%20%20-%20**Find%20the%20drift.**%20On%20the%20%24%5Cbeta%24-plane%20preset%2C%20track%20the%20location%0A%20%20%20%20%20%20of%20the%20%24%5Ceta%24%20extremum%20on%20the%20snapshot%20browser%20as%20%24t%24%20increases%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20%20%20confirm%20it%20moves%20westward%20(decreasing%20%24x%24)%2C%20consistent%20with%0A%20%20%20%20%20%20%24%5Comega_R%3D-%5Chat%5Cbeta%20k%2F(k%5E2%2B1)%24.%20Estimate%20its%20speed%20from%20the%20frames%0A%20%20%20%20%20%20and%20compare%20with%20%24%5Chat%5Cbeta%2F(k%5E2%2B1)%24%20using%20%24k%5Csim1%2F%5Csigma%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20What%20you%20should%20have%20seen%0A%0A%20%20%20%20A%20height%20bump%20released%20from%20rest%20splits%20into%20outward-radiating%0A%20%20%20%20inertia-gravity%20waves%20plus%20a%20stationary%20geostrophic%20remnant.%20The%0A%20%20%20%20remnant's%20amplitude%20relative%20to%20%24%5Ceta_0%24%20grows%20with%20%24%5Csigma%2FL_R%24%3A%20for%0A%20%20%20%20%24%5Csigma%5Cll%20L_R%24%20almost%20nothing%20survives%20(mostly%20gravity%20waves)%3B%20for%0A%20%20%20%20%24%5Csigma%5Cgg%20L_R%24%20most%20of%20%24%5Ceta_0%24%20survives%20basically%20unchanged.%20In%20both%0A%20%20%20%20cases%20%24q%24%20is%20exactly%20conserved%20and%20%60invert_pv(q0)%60%20%E2%80%94%20computed%20**before%0A%20%20%20%20any%20time-stepping**%20%E2%80%94%20already%20predicts%20the%20balanced%20end%20state.%20Turning%0A%20%20%20%20on%20%24%5Chat%5Cbeta%24%20breaks%20pointwise%20PV%20conservation%20and%20sends%20the%20balanced%0A%20%20%20%20remnant%20drifting%20slowly%20westward%3A%20geostrophic%20adjustment%20on%20a%0A%20%20%20%20%24%5Cbeta%24-plane%20never%20truly%20comes%20to%20rest.%0A%0A%20%20%20%20**Where%20this%20goes%20next.**%20This%20chapter%20is%20the%20book's%20hinge.%20The%0A%20%20%20%20%22PV%20is%20conserved%2C%20PV%20is%20invertible%2C%20the%20rest%20is%20waves%22%20logic%20you%0A%20%20%20%20just%20watched%20is%20*the*%20organizing%20idea%20of%20large-scale%20GFD%3A%20Ch.%207%0A%20%20%20%20makes%20invertibility%20the%20star%2C%20Ch.%208%20derives%20the%20equation%20the%0A%20%20%20%20balanced%20remnant%20obeys%20once%20it's%20free%20to%20evolve%20(quasi-geostrophy)%2C%0A%20%20%20%20and%20Ch.%209%20follows%20the%20Rossby%20waves.%20When%20observational%0A%20%20%20%20oceanographers%20see%20a%20mesoscale%20eddy%20that%20has%20survived%20for%20months%2C%0A%20%20%20%20they%20are%20looking%20at%20the%20%24%5Csigma%5Cgtrsim%20L_R%24%20preset's%20endgame.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A